Touchez votre réponse :
On a $u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k+n}$.
**Étape 1 : Encadrement de $u_n$**
Pour $1 \leq k \leq n$ :
$$\frac{1}{3n} \leq \frac{1}{2k+n} \leq \frac{1}{n+2}$$
Donc :
$$\frac{n}{3n} \leq u_n \leq \frac{n}{n+2}$$
$$\frac{1}{3} \leq u_n \leq \frac{n}{n+2}$$
**Étape 2 : Utiliser une somme de Riemann**
Réécrire :
$$u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k+n} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\frac{2k}{n}+1}$$
En posant $x_k = \frac{k}{n}$, on reconnaît une somme de Riemann :
$$u_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2\cdot\frac{k}{n}+1}$$
**Étape 3 : Convergence vers une intégrale**
Quand $n \to +\infty$ :
$$u_n \to \int_0^1 \frac{1}{2x+1} dx$$
**Étape 4 : Calculer l'intégrale**
$$\int_0^1 \frac{1}{2x+1} dx = \left[\frac{1}{2}\ln(2x+1)\right]_0^1$$
$$= \frac{1}{2}\ln(3) - \frac{1}{2}\ln(1)$$
$$= \frac{1}{2}\ln(3) = \ln(3^{1/2}) = \ln(\sqrt{3})$$
**Réponse : c) $\ln(\sqrt{3})$**
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