Touchez votre réponse :
**Clé : utiliser l'identité** $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
On remarque que :
$$e^{2^k} + e^{-2^k} = \frac{(e^{2^k})^2 - (e^{-2^k})^2}{e^{2^k} - e^{-2^k}} = \frac{e^{2^{k+1}} - e^{-2^{k+1}}}{e^{2^k} - e^{-2^k}}$$
Donc le produit devient **télescopique** :
$$u_n = \prod_{k=0}^{n} \frac{e^{2^{k+1}} - e^{-2^{k+1}}}{e^{2^k} - e^{-2^k}}$$
En développant :
$$u_n = \frac{e^{2^1} - e^{-2^1}}{e^{2^0} - e^{-2^0}} \cdot \frac{e^{2^2} - e^{-2^2}}{e^{2^1} - e^{-2^1}} \cdot \frac{e^{2^3} - e^{-2^3}}{e^{2^2} - e^{-2^2}} \cdots \frac{e^{2^{n+1}} - e^{-2^{n+1}}}{e^{2^n} - e^{-2^n}}$$
Après **simplification en cascade** :
$$u_n = \frac{e^{2^{n+1}} - e^{-2^{n+1}}}{e^{2^0} - e^{-2^0}} = \frac{e^{2^{n+1}} - e^{-2^{n+1}}}{e^1 - e^{-1}} = \frac{e^{2^{n+1}} - e^{-2^{n+1}}}{e - e^{-1}}$$
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