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On exprime chaque terme sous forme exponentielle :
$$u_n = \prod_{k=0}^{9} \sqrt[3 \times 2^k]{5} = \prod_{k=0}^{9} 5^{\frac{1}{3 \times 2^k}}$$
En utilisant la propriété du produit des puissances :
$$u_n = 5^{\sum_{k=0}^{9} \frac{1}{3 \times 2^k}} = 5^{\frac{1}{3}\sum_{k=0}^{9} \frac{1}{2^k}}$$
Calculons la série géométrique :
$$\sum_{k=0}^{9} \frac{1}{2^k} = \frac{1 - (\frac{1}{2})^{10}}{1 - \frac{1}{2}} = 2\left(1 - \frac{1}{2^{10}}\right) = 2 - \frac{2}{1024} = 2 - \frac{1}{512} = \frac{1024 - 1}{512} = \frac{1023}{512}$$
Donc :
$$u_n = 5^{\frac{1}{3} \times \frac{1023}{512}} = 5^{\frac{1023}{1536}}$$
Or, $\sqrt[3]{5^x} = 5^{\frac{x}{3}}$, donc :
$$\sqrt[3]{5^{\frac{1023}{512}}} = 5^{\frac{1023}{512 \times 3}} = 5^{\frac{1023}{1536}}$$
Ainsi $u_n = \sqrt[3]{5^{\frac{1023}{512}}}$
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