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Soit $a_n = (3+\sqrt{5})^n + (3-\sqrt{5})^n$. On sait que $a_n$ est un entier pair pour tout $n$.
Remarquons que $0 < 3-\sqrt{5} < 1$ (car $\sqrt{5} \approx 2.236$, donc $3-\sqrt{5} \approx 0.764$).
Donc $(3-\sqrt{5})^n \to 0$ quand $n \to +\infty$.
Par conséquent :
$$(3+\sqrt{5})^n = a_n - (3-\sqrt{5})^n$$
Où $a_n$ est un entier pair et $(3-\sqrt{5})^n \to 0$.
Cela signifie que $(3+\sqrt{5})^n = \text{(entier pair)} - \varepsilon_n$ avec $\varepsilon_n \to 0$.
Soit $2k_n$ cet entier pair. Alors :
$$(3+\sqrt{5})^n = 2k_n - \varepsilon_n$$
Donc :
$$(3+\sqrt{5})^n \pi = 2k_n\pi - \varepsilon_n\pi$$
Or $\sin(2k_n\pi - \varepsilon_n\pi) = -\sin(\varepsilon_n\pi)$ (ou $\sin(\text{pair}\pi - \alpha) = -\sin(\alpha)$).
Comme $\varepsilon_n \to 0$, on a $\varepsilon_n\pi \to 0$, donc $\sin(\varepsilon_n\pi) \to 0$.
Par suite : $$\lim_{n \to +\infty} \sin((3+\sqrt{5})^n \pi) = 0$$
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