Touchez votre réponse :
**Étape 1 : Réorganiser la relation de récurrence**
De $u_n = \sqrt{\frac{u_{n+1}^2 + u_{n-1}^2}{2}}$, on élève au carré :
$$u_n^2 = \frac{u_{n+1}^2 + u_{n-1}^2}{2}$$
$$u_{n+1}^2 = 2u_n^2 - u_{n-1}^2$$
**Étape 2 : Étudier la suite $(v_n) = u_{n+1}^2 - u_n^2$**
Calculons les différences successives :
- $u_0^2 = 0$
- $u_1^2 = 1$
- $u_2^2 = 2(1)^2 - 0^2 = 2$
- $u_3^2 = 2(2) - 1 = 3$
- $u_4^2 = 2(3) - 2 = 4$
- $u_5^2 = 2(4) - 3 = 5$
Conjecturellement : $u_n^2 = n$
**Étape 3 : Vérifier par récurrence que $u_n^2 = n$**
Initialisation : $u_0^2 = 0$ ✓ et $u_1^2 = 1$ ✓
Hérédité : Si $u_{n-1}^2 = n-1$ et $u_n^2 = n$, alors :
$$u_{n+1}^2 = 2u_n^2 - u_{n-1}^2 = 2n - (n-1) = n+1$$ ✓
**Étape 4 : Conclure**
Puisque $u_n^2 = n$ et $u_n \geq 0$ (par construction), on a :
$$u_n = \sqrt{n}$$
Donc : $$\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$$
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