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Étude de fonction

Domaine, limites, dérivée, signe de f′, tableau de variations et courbe. Calcul exact, gratuit.

(x^2-1)/(x-2) x^3 - 3x + 2 ln(x-2) (x^2+1)/(x^2-4) sqrt(x+1)
Solution
\( f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4} \)

Domaine de définition

\( D_f = \left]-\infty\,;\,-2\right[ \cup \left]-2\,;\,2\right[ \cup \left]2\,;\,+\infty\right[ \)

Parité

On a :
\( \left(\forall x \in D_f\right)\quad f(-x) = f(x) \)
Donc la fonction f est paire. La courbe (C_f) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Limites aux bornes

On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1 \)
\( \displaystyle\lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to -2^+} f(x) = -\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 \)

Branches infinies

On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty \)
Donc La droite d'équation \( x = -2 \) est une asymptote verticale à la courbe \( (C_f) \).
On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty \)
Donc La droite d'équation \( x = 2 \) est une asymptote verticale à la courbe \( (C_f) \).
On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1 \)
Donc La droite d'équation \( y = 1 \) est une asymptote horizontale à la courbe \( (C_f) \) au voisinage de \( -\infty \).
On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 \)
Donc La droite d'équation \( y = 1 \) est une asymptote horizontale à la courbe \( (C_f) \) au voisinage de \( +\infty \).

Dérivée

\( \left(\forall x \in D_f\right)\quad f'(x) = - \frac{10 x}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}} \)

Signe de f′

On a :
\( f'(x) = 0 \iff x = 0 \)
\[ \begin{array}{c|ccccccccc} x & -\infty & & -2 & & 0 & & 2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & \| & + & 0 & - & \| & - & \end{array} \]
D'où :
\( f \) est croissante sur \( \left]-\infty\,;\,-2\right[ \)
\( f \) est croissante sur \( \left]-2\,;\,0\right] \)
\( f \) est décroissante sur \( \left[0\,;\,2\right[ \)
\( f \) est décroissante sur \( \left]2\,;\,+\infty\right[ \)

Tableau de variations

\[ \begin{array}{c|ccccccccc} x & -\infty & & -2 & & 0 & & 2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & \| & + & 0 & - & \| & - & \\ \hline \vphantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{1}} f(x) & 1 & \Large\nearrow & +\infty\;\|\;-\infty & \Large\nearrow & - \frac{1}{4} & \Large\searrow & -\infty\;\|\;+\infty & \Large\searrow & 1 \end{array} \]
\( f \) admet un maximum local en \( x = 0 \) : \( f(0) = - \frac{1}{4} \).

Concavité et points d'inflexion

\( \left(\forall x \in D_f\right)\quad f''(x) = \frac{10 \left(3 x^{2} + 4\right)}{\left(x - 2\right)^{3} \left(x + 2\right)^{3}} \)
\[ \begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -2 & & 2 & & +\infty \\ \hline f''(x) & & + & \| & - & \| & + & \\ \hline (C_f) & & \cup & & \cap & & \cup & \end{array} \]
D'où :
\( (C_f) \) est convexe sur \( \left]-\infty\,;\,-2\right[ \)
\( (C_f) \) est concave sur \( \left]-2\,;\,2\right[ \)
\( (C_f) \) est convexe sur \( \left]2\,;\,+\infty\right[ \)

Position de la courbe par rapport à ses asymptotes

Soit \( (D) \) la droite d'équation \( y = 1 \). On étudie le signe de \( f(x) - \left(1\right) \) :
\( f(x) - \left(1\right) = -1 + \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4} \)
\[ \begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -2 & & 2 & & +\infty \\ \hline f(x) - \left(1\right) & & + & \| & - & \| & + & \end{array} \]
D'où :
\( (C_f) \) est au-dessus de \( (D) \) sur \( \left]-\infty\,;\,-2\right[ \)
\( (C_f) \) est en dessous de \( (D) \) sur \( \left]-2\,;\,2\right[ \)
\( (C_f) \) est au-dessus de \( (D) \) sur \( \left]2\,;\,+\infty\right[ \)

Points d'intersection avec les axes

On résout l'équation \( f(x) = 0 \) :
\( f(x) = 0 \text{ n'a pas de solution} \)
Alors la courbe \( (C_f) \) ne coupe pas l'axe des abscisses.
On calcule \( f(0) \) :
\( f(0) = - \frac{1}{4} \)
Alors la courbe \( (C_f) \) coupe l'axe des ordonnées en \( A\left(0\,;\,- \frac{1}{4}\right) \).

Courbe représentative

−4−224−4−22468max
La tangente au point d'abscisse \( x = 0 \) est horizontale, d'équation \( y = - \frac{1}{4} \).