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Étude de fonction

Domaine, limites, dérivée, signe de f′, tableau de variations et courbe. Calcul exact, gratuit.

(x^2-1)/(x-2) x^3 - 3x + 2 ln(x-2) (x^2+1)/(x^2-4) sqrt(x+1)
Solution
\( f(x) = \ln{\left(x - 2 \right)} \)

Domaine de définition

\( D_f = \left]2\,;\,+\infty\right[ \)

Parité

On a :
\( D_f \) n'est pas symétrique par rapport à \( 0 \)
Donc la fonction f n'est ni paire ni impaire : son domaine n'est pas symétrique par rapport à 0.

Limites aux bornes

On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \)

Branches infinies

On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty \)
Donc La droite d'équation \( x = 2 \) est une asymptote verticale à la courbe \( (C_f) \).
On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = 0 \)
Donc La courbe \( (C_f) \) admet une branche parabolique dirigée vers l'axe des abscisses au voisinage de \( +\infty \).

Dérivée

\( \left(\forall x \in D_f\right)\quad f'(x) = \frac{1}{x - 2} \)

Signe de f′

On a :
\( f'(x) \neq 0 \text{ sur } D_f \)
\[ \begin{array}{c|ccc} x & 2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & \| & + & \end{array} \]
D'où :
\( f \) est croissante sur \( \left]2\,;\,+\infty\right[ \)

Tableau de variations

\[ \begin{array}{c|ccc} x & 2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & \| & + & \\ \hline \vphantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{1}} f(x) & -\infty & \Large\nearrow & +\infty \end{array} \]

Concavité et points d'inflexion

\( \left(\forall x \in D_f\right)\quad f''(x) = - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}} \)
\[ \begin{array}{c|ccc} x & 2 & & +\infty \\ \hline f''(x) & \| & - & \\ \hline (C_f) & & \cap & \end{array} \]
D'où :
\( (C_f) \) est concave sur \( \left]2\,;\,+\infty\right[ \)

Points d'intersection avec les axes

On résout l'équation \( f(x) = 0 \) :
\( f(x) = 0 \iff x = 3 \)
Alors la courbe \( (C_f) \) coupe l'axe des abscisses en un point : \( A\left(3\,;\,0\right) \).

Courbe représentative

1.522.533.5−2−11A