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Étude de fonction

Domaine, limites, dérivée, signe de f′, tableau de variations et courbe. Calcul exact, gratuit.

(x^2-1)/(x-2) x^3 - 3x + 2 ln(x-2) (x^2+1)/(x^2-4) sqrt(x+1)
Solution
\( f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 2} \)

Domaine de définition

\( D_f = \left]-\infty\,;\,2\right[ \cup \left]2\,;\,+\infty\right[ \)

Parité

On a :
\( D_f \) n'est pas symétrique par rapport à \( 0 \)
Donc la fonction f n'est ni paire ni impaire : son domaine n'est pas symétrique par rapport à 0.

Limites aux bornes

On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \)

Branches infinies

On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty \)
Donc La droite d'équation \( x = 2 \) est une asymptote verticale à la courbe \( (C_f) \).
On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x} = 1 \)
\( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(f(x) - x\right) = 2 \)
Donc La droite d'équation \( y = x + 2 \) est une asymptote oblique à la courbe \( (C_f) \) au voisinage de \( -\infty \).
On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = 1 \)
\( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(f(x) - x\right) = 2 \)
Donc La droite d'équation \( y = x + 2 \) est une asymptote oblique à la courbe \( (C_f) \) au voisinage de \( +\infty \).

Dérivée

\( \left(\forall x \in D_f\right)\quad f'(x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{\left(x - 2\right)^{2}} \)

Signe de f′

On a :
\( f'(x) = 0 \iff x = 2 - \sqrt{3} \text{ ou } x = \sqrt{3} + 2 \)
\[ \begin{array}{c|ccccccccc} x & -\infty & & 2 - \sqrt{3} & & 2 & & \sqrt{3} + 2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \| & - & 0 & + & \end{array} \]
D'où :
\( f \) est croissante sur \( \left]-\infty\,;\,2 - \sqrt{3}\right] \)
\( f \) est décroissante sur \( \left[2 - \sqrt{3}\,;\,2\right[ \)
\( f \) est décroissante sur \( \left]2\,;\,\sqrt{3} + 2\right] \)
\( f \) est croissante sur \( \left[\sqrt{3} + 2\,;\,+\infty\right[ \)

Tableau de variations

\[ \begin{array}{c|ccccccccc} x & -\infty & & 2 - \sqrt{3} & & 2 & & \sqrt{3} + 2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \| & - & 0 & + & \\ \hline \vphantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{1}} f(x) & -\infty & \Large\nearrow & 4 - 2 \sqrt{3} & \Large\searrow & -\infty\;\|\;+\infty & \Large\searrow & 2 \sqrt{3} + 4 & \Large\nearrow & +\infty \end{array} \]
\( f \) admet un maximum local en \( x = 2 - \sqrt{3} \) : \( f(2 - \sqrt{3}) = 4 - 2 \sqrt{3} \).
\( f \) admet un minimum local en \( x = \sqrt{3} + 2 \) : \( f(\sqrt{3} + 2) = 2 \sqrt{3} + 4 \).

Concavité et points d'inflexion

\( \left(\forall x \in D_f\right)\quad f''(x) = \frac{6}{\left(x - 2\right)^{3}} \)
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 2 & & +\infty \\ \hline f''(x) & & - & \| & + & \\ \hline (C_f) & & \cap & & \cup & \end{array} \]
D'où :
\( (C_f) \) est concave sur \( \left]-\infty\,;\,2\right[ \)
\( (C_f) \) est convexe sur \( \left]2\,;\,+\infty\right[ \)

Éléments de symétrie

On a :
\( \left(\forall x \in D_f\right)\quad 4 - x \in D_f \text{ et } f(4 - x) + f(x) = 8 \)
Donc le point \( \Omega\left(2\,;\,4\right) \) est un centre de symétrie de \( (C_f) \).

Position de la courbe par rapport à ses asymptotes

Soit \( (D) \) la droite d'équation \( y = x + 2 \). On étudie le signe de \( f(x) - \left(x + 2\right) \) :
\( f(x) - \left(x + 2\right) = \frac{3}{x - 2} \)
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 2 & & +\infty \\ \hline f(x) - \left(x + 2\right) & & - & \| & + & \end{array} \]
D'où :
\( (C_f) \) est en dessous de \( (D) \) sur \( \left]-\infty\,;\,2\right[ \)
\( (C_f) \) est au-dessus de \( (D) \) sur \( \left]2\,;\,+\infty\right[ \)

Points d'intersection avec les axes

On résout l'équation \( f(x) = 0 \) :
\( f(x) = 0 \iff x = -1 \text{ ou } x = 1 \)
Alors la courbe \( (C_f) \) coupe l'axe des abscisses en deux points : \( A\left(-1\,;\,0\right) \), \( B\left(1\,;\,0\right) \).
On calcule \( f(0) \) :
\( f(0) = \frac{1}{2} \)
Alors la courbe \( (C_f) \) coupe l'axe des ordonnées en \( C\left(0\,;\,\frac{1}{2}\right) \).

Courbe représentative

−4−2246−5510maxminAB
La tangente au point d'abscisse \( x = 2 - \sqrt{3} \) est horizontale, d'équation \( y = 4 - 2 \sqrt{3} \).
La tangente au point d'abscisse \( x = \sqrt{3} + 2 \) est horizontale, d'équation \( y = 2 \sqrt{3} + 4 \).