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Étude de fonction

Domaine, limites, dérivée, signe de f′, tableau de variations et courbe. Calcul exact, gratuit.

(x^2-1)/(x-2) x^3 - 3x + 2 ln(x-2) (x^2+1)/(x^2-4) sqrt(x+1)
Solution
\( f(x) = x^{3} - 3 x + 2 \)

Domaine de définition

\( D_f = \mathbb{R} \)

Parité

On a :
\( \left(\forall x \in D_f\right)\quad f(-x) = - x^{3} + 3 x + 2 \)
Donc la fonction f n'est ni paire ni impaire.

Limites aux bornes

On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \)

Branches infinies

On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x} = +\infty \)
Donc La courbe \( (C_f) \) admet une branche parabolique dirigée vers l'axe des ordonnées au voisinage de \( -\infty \).
On a :
\( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \)
\( \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = +\infty \)
Donc La courbe \( (C_f) \) admet une branche parabolique dirigée vers l'axe des ordonnées au voisinage de \( +\infty \).

Dérivée

\( \left(\forall x \in D_f\right)\quad f'(x) = 3 \left(x - 1\right) \left(x + 1\right) \)

Signe de f′

On a :
\( f'(x) = 0 \iff x = -1 \text{ ou } x = 1 \)
\[ \begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -1 & & 1 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \end{array} \]
D'où :
\( f \) est croissante sur \( \left]-\infty\,;\,-1\right] \)
\( f \) est décroissante sur \( \left[-1\,;\,1\right] \)
\( f \) est croissante sur \( \left[1\,;\,+\infty\right[ \)

Tableau de variations

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -1 & & 1 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \vphantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}}{1}} f(x) & -\infty & \Large\nearrow & 4 & \Large\searrow & 0 & \Large\nearrow & +\infty \end{array} \]
\( f \) admet un maximum local en \( x = -1 \) : \( f(-1) = 4 \).
\( f \) admet un minimum local en \( x = 1 \) : \( f(1) = 0 \).

Concavité et points d'inflexion

\( \left(\forall x \in D_f\right)\quad f''(x) = 6 x \)
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline f''(x) & & - & 0 & + & \\ \hline (C_f) & & \cap & I & \cup & \end{array} \]
D'où :
\( (C_f) \) est concave sur \( \left]-\infty\,;\,0\right] \)
\( (C_f) \) est convexe sur \( \left[0\,;\,+\infty\right[ \)
Le point \( I\left(0\,;\,2\right) \) est un point d'inflexion de \( (C_f) \).

Éléments de symétrie

On a :
\( \left(\forall x \in D_f\right)\quad 0 - x \in D_f \text{ et } f(0 - x) + f(x) = 4 \)
Donc le point \( \Omega\left(0\,;\,2\right) \) est un centre de symétrie de \( (C_f) \).

Points d'intersection avec les axes

On résout l'équation \( f(x) = 0 \) :
\( f(x) = 0 \iff x = -2 \text{ ou } x = 1 \)
Alors la courbe \( (C_f) \) coupe l'axe des abscisses en deux points : \( A\left(-2\,;\,0\right) \), \( B\left(1\,;\,0\right) \).
On calcule \( f(0) \) :
\( f(0) = 2 \)
Alors la courbe \( (C_f) \) coupe l'axe des ordonnées en \( C\left(0\,;\,2\right) \).

Courbe représentative

−4−3−2−1123−40−30−20−101020maxminIA
La tangente au point d'abscisse \( x = -1 \) est horizontale, d'équation \( y = 4 \).
La tangente au point d'abscisse \( x = 1 \) est horizontale, d'équation \( y = 0 \).