Mathématiques au lycée Maroc — cours, exercices et examens en PDF

Soit $z = x + iy$ avec $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ et $z \neq 1$.

**Condition:** $\frac{z+1}{z-1} \in i\mathbb{R}$ signifie que ce quotient est un imaginaire pur.

Un nombre complexe est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle.

$$\frac{z+1}{z-1} = \frac{(x+1)+iy}{(x-1)+iy}$$

Multiplions par le conjugué du dénominateur:

$$\frac{z+1}{z-1} = \frac{[(x+1)+iy][(x-1)-iy]}{[(x-1)+iy][(x-1)-iy]}$$

**Numérateur:**
$$[(x+1)(x-1) + y^2] + i[y(x-1) - y(x+1)]$$
$$= [x^2 - 1 + y^2] + i[-2y]$$

**Dénominateur:**
$$(x-1)^2 + y^2$$

Donc:
$$\frac{z+1}{z-1} = \frac{x^2 + y^2 - 1}{(x-1)^2 + y^2} + i\frac{-2y}{(x-1)^2 + y^2}$$

Pour que ce quotient soit imaginaire pur, sa partie réelle doit être nulle:

$$x^2 + y^2 - 1 = 0$$

Cette équation représente le **cercle de centre $O$ et de rayon $1$**.

Cependant, $z = 1$ (le point $(1,0)$) est exclu de la condition initiale $z \neq 1$.

Vérification: Le point $(1,0)$ satisfait $x^2 + y^2 = 1$, mais il ne peut pas être atteint car il rendrait le dénominateur $z - 1 = 0$.